Summary of Constitutive Relations of Concrete
刘诚诚 LIU Cheng-cheng
（重庆交通大学土木工程学院，重庆 400074）
（School of Civil Engineering，Chongqing Jiaotong University，Chongqing 400074，China）
摘要：混凝土由于复杂的自身材料，制作工艺和周围环境的不同，使得就力学特性而言十分复杂。而混凝土的本构关系又是有限元分析的误差主要来源。本文概述了混凝土常见的本构关系，即：弹性模型、塑性模型、非线弹性模型和其他弹性模型，阐述了不同模型的基本概念，为计算提供了理论支撑。
Abstract: Due to the complexity of its own materials, the difference of manufacturing process and the surrounding environment, concrete is very complicated in terms of mechanical properties. The constitutive relationship of concrete is the main source of error in finite element analysis. This paper outlines the common constitutive relationships of concrete, namely: elastic models, plastic models, nonlinear elastic models and other elastic models. The basic concepts of different models are described to provide theoretical support for the calculation.
关键词：应力应变；本构关系；模型；混凝土
Key words: stress and strain；constitutive relations；models；concrete
中图分类号：TU528 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2019）27-0197-02
0 引言
混凝土是一种人工混合材料。它是将水泥为主要胶凝材料，拌合一定比例的砂、石和水，并加入少量添加剂，经搅拌、注模、振捣、养护等工序后，逐渐地凝固硬化而成。因此混凝土的基本结构是非匀质、不等向的多相混合材料结构。可以看出混凝土具有十分复杂的力学性能，变量因数众多，同种混凝土有随机变化，强度等力学特征值不是固定常数。
混凝土的本构关系本身有多种正应力与正应变，切应力和切应变。最常见，对应用最有用的是，应力与应变的关系。它在细观层面上描述了混凝土材料的基本力学性质，体现了力与变形的关系，可以得到力对物体变形的影响。因此，它是研究混凝土构件和结构在外部作用下的变形及运动的基础，同时也是深度研究混凝土结构的工具。由于混凝土本构关系在非线性分析中有着非常重要的作用。在大型混凝土受力中的应用显得非常重要，因此对混凝土本构关系进行精确研究显得非常有必要。以下对常见的混凝土本构关系进行回顾和总结。
1 线弹性模型
以弹性力学为基础，考虑在混凝土无裂缝时，由单轴受压混凝土应力应变全曲线开始段，试件应变随应力增长近似成比例，于此，我们就引入弹性理论，将混凝土看成线弹性材料，用弹性力学的分析方法来分析它。
在材料力学中，已知在弹性限度范围内，材料轴向应力与应变成正比关系，有：■（1）
其中：E为弹性常数。
在三维应力状态下，用张量表示法则有：
■ （i，j，k，l=1，2，3）（2）
该式为广义胡克定律下的本构关系。 弹性常数为四阶张量，一般有81个常数。对于各向匀质材料，可用拉梅常数来表示，这时只有两个常数，即
■（3）
式中：■（4）
2 非线弹性模型
该模型使得应力和应变虽有一一对应的关系，比值却不再是常数，而是也会随着应力的变化而变化，但该模型卸载后没有残余变形，仍然属于弹性。对应比值的变化，我们可以从实验数据中得出。不足之处是由于实验数据比不了理论数据的唯一性，在此情况下要求对数据的分析、总结到位。这类本构模型分为全量式和增量式两种形式。全量式应力应变关系，直接求解应力应变的关系，常采用割线模量，例如Ottosen模型、Cauchy模型和Green模型属于此类模型。
这种模型是各向同性的线弹性本构理论的推广。对多轴应力下，由将应力张量分解为球张量和偏张量：
■（5）
同理应变张量也可以进行相应的分解：
■（6）
使用张量符合将弹性关系表示为：
■（7）
对于线弹性K，G为常数，于此，我们将K，G设为随应变状态而变化的参数，则这种关系则便为非弹性关系。对于弹性常数和应力的关系除了数学推导，也可以用实验的方法来探究，对多轴实验进行总结、归纳、分析，经过回归分析而得出。
另一类是增量式应力应变关系，考虑的是增量直接的变化，则模量与导数有关，次弹性模型属于此类模型。考虑应力的增量和应变的增量之间的关系，再通过积分来求得应力应变关系。分别有单向应力状态Sargin公式、双向应力状态Darwin-Pecknold模型、三向应力状态。其中三向应力状态由于两增量之间的变化复杂，对增量的实测数据较少。
这类模型形式简单，易于理解，使用方便。非线弹性模型由于其中有的量如弹性模量E，是通过实验测量总结，所以属于经验形的模型。由于考虑了加载过程，但是因为是弹性假设的原因，所以卸载后会沿加载路径返回。可是它比线性好在考虑了混凝土的非线性，由实验验证有足够精度，可广泛使用：
3 塑性理论模型
在变形体材料加载后，卸载时产生了不可恢复的变形则称为塑性变形。而混凝土本身有的蠕变效应，在过大的力的作用下混凝土可能会产生塑性变形。外加混凝土本身结构有着微小孔洞和微小裂缝的原因，使得混凝土在加载后很可能产生不可恢复的塑性变形，因此可以采用塑性理论类本构模型。
由于单轴受拉受压混凝土本身最开始是直线，后面变成二阶导数小于0的凸函数，可以尝试着用理想弹塑性的公式来进行模拟，公式如下：
■（8）
?姿为一参数，sign为数学符号，
■（9）
除此之外还有线性弹塑性强化模型、一般加载规律、刚塑性模型、强化模型。由于塑性理论中考虑了应力状态和加载途径有关，对于不同的加载过程有着具体而合理的模拟，可以较好的描述混凝土应力——应变状态，因而得到了广泛的引用。
混凝土材料的屈服条件分为初始屈服条件和强度破坏条件。它们把材料的本构关系分为三个阶段：未到屈服条件，为弹性；超过初始屈服而未达到强度破坏条件时，表现为弹塑性关系；达到或超过破坏条件时，材料部分或全部退出工作。
混凝土塑性增量理论认为，在初始屈服面与破坏面之间存在一系列的后续屈服面或加载面。强化性准则描述塑性应变的发展，后续屈服面或加载面是怎样发展的。一般认为：对于没有反向加载的加载过程而言，后续屈服面从闭合形状的初始屈服面开始，随荷载增长而逐渐增大，最后达到破坏面。
4 其他理论模型
4.1 内时理论模型
由于弹性和塑性很难确定混凝土的屈服极限。此外，理想性的塑性变形的体积不变假设也不符合实际情况下的混凝土材料。而且混凝土的软化问题，在塑性力学里面也难以处理，为此，内时理论的提出解决了考虑屈服面的问题，即不用考虑屈服情况。将变形作为一个内变量。内时理论基本概念为：可以由该点整个变形领域内和温度历史来映射塑性和粘塑性材料内任一点的现应力状态，当前屈服面会对后屈服面造成影响。可是参数难以确定，表达式各种各样，采用衡量的内时因素不一样就会使得它的结果不是想象中的完美，对此还需要再此基础深入研究。
4.2 断裂损伤理论模型
在外荷载和环境作用下，由于细观结构缺陷引起的材料和结构的劣化过程，称为损伤。断裂力学本身研究的就是含有裂缝缺陷的固体材料，而由于混凝土本身恰恰就是自带微小裂缝孔洞的。完全满足条件。对于裂缝的存在引入断裂韧度，当应力强度因子为达到断裂韧度时，则可说安全的。同样，损伤力学也承认材料存在内部微观缺陷，通过引入损伤因子，反映结构在受力过程中因损伤积累产生的裂缝扩展程度，对裂缝的变化。
5 结语
混凝土本构关系众多，不同情况下需仔细辨别选择。而混凝土的本构关系对于混凝土的研究起指导作用，在混凝土的设计和计算中起基础的理论知识。本文对混凝土本构关系进行了阐述说明，为模型选取、混凝土力学计算提供了帮助。现对各模型总结如下：①弹性模型简单，但是适用范围小，对混凝土结构不能充分的完全的体现，尤其是下降段。非线弹性，可以考虑加载过程加载条件，在工程上的应用广泛。塑性力学计算过于复杂。内时理论不用考虑屈服面是一个很大的创举，但是内蕴时间的确定难以确定。②损伤力学描述混凝土材料的应力应变过程合理，符合内部存在相应缺陷。可是由于损伤变量和损伤演化方面难以得到一个确切的给定值，对其认知方面还得有待发展。断裂损伤力学，考虑了材料本身固有的缺陷，考虑了材料本身的破坏，考虑了断裂中蕴含的能力，结合微观的观察和分析，是很切合实际的。在未来，还得更加发展此方面。③在单轴受拉受压的混凝土本构模型的认知已经有了一定的了解，可是在三向应力状态下，还有待加强，其数据还不够多。实验方法难以保证所加力达到了所该给的作用点，对其数据测量还不够多。非损伤的测量方法有点改进突破，在有限元方面的应用还有点提高。
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价值工程
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